Калькулятор "Прашкевич" (спектры пропускания и отражения света стопкой пластин, март 2024 г.)
Рекомендуемый порядок действий: задать параметры, нажать кнопку, выбрать график


показывать параметры


расчет длился:

вывести график

Начальная частота, ω0 (или длина волны, λ0)

Количество точек на Ox, шт

Конечная частота, ω1 (или длина волны, λ1)

===============
задать параметры сред
===============
синтаксис: d ; ε ; σ ; μ ; ε⊥ ; σ⊥ ; μ⊥ ; φ0 ; q ; σm ; σ⊥m
(можно скопировать строку "синтаксис" в окно и заменить любые символы числами)

параметры начальной среды (по умолчанию задан вакуум, ε = 1.0):


параметры стопки пластин (по умолчанию задан слой вакуума с нулевой толщиной, d = 0.0):


параметры конечной среды (по умолчанию задан вакуум, ε = 1.0):

===============


===============
"Подвал" Прашкевича
===============

0. Ссылка на подробное описание решения задачи

1. Краткое описание
Плоская электромагнитная волна падает по нормали на стопку пластин. Вы задаете параметры стопки, а Прашкевич вычисляет долю отраженной энергии R, долю пропущенной энергии T и долю поглощенной энергии A.
Такие вычисления нужны людям, которые ищут нефть (пуляют радиоволны в недра, а потом ловят, что прилетело обратно), смотрят сквозь слоистые облака на звезды, делают очки с просветленной оптикой или жидкокристаллические мониторы или неотражающие слоистые покрытия для плащей-невидимок (но это не точно). Учат таким вычислениям в ВУЗах, предмет называется "Матричная оптика": методичка из Саратова (2017 г.), методичка из Перми (2022 г.) ...

2. Что за графики рисует Прашкевич
На графиках Прашкевич рисует по иксу частоту (если Вы выберете λ, то Прашкевич нарисует длину волны), а по игреку - доли энергии T, R, A.

Буквы T, R, A снабжены индексами. Они означают поляризацию того света, который Прашкевич пустил на стопку пластин: x и y - линейные поляризации (по иксу и по игреку), а r и l - круговые (правая и левая).
- Если все Ваши пластины изотропны, то T, R, A не зависят от поляризации света и индексы не играют никакой роли.
- Если Вы задали пластину, поглощающую свет, то A: A = 1 - (T + R) - окажется не равна нулю (а в средах без поглощения она покажет численную погрешность расчета).
- Если какая-то пластина из стопки анизотропна (оптическая ось лежит в плоскости Oxy, а свет распространяется вдоль Oz), то Tx, Rx, Ax могут отличаться от Ty, Ry, Ay (разные поляризации света проходят через стопку по-разному).
- Если направление оптической оси в какой либо анизотропной пластине зависит от z-координаты, то по-разному проходят волны с круговыми поляризациями: Tr, Rr, Ar отличаются от Tl, Rl, Al.

--- примечание ---
Прашкевич понимает только один тип нетривиальной зависимости направления оптической оси от координаты - гармонический, где с ростом z-координаты ось вращается в плоскости Oxy с пространственной частотой q (т.н. анизотропия холестерического жидкого кристалла), решение задачи для одной такой пластины описано в литературе:
* Kats E.I. Optical properties of cholesteric liquid crystals // Soliet Phisics JETP. 1971. Vol. 32. pp. 1004-1007.
* Berreman D.W. Optics in stratified and anisotropic media: 4Х4-matrix formulation // Journal of the Optical Society of America. 1972. Vol. 62. pp. 502-510.
(однако большим количеством тонких пластин с постоянным направлением оптической оси можно задать Прашкевичу произвольную зависимость направления оптической оси от z-координаты)
--- конец примечания ---

3. Параметры, которые задаете Вы
Прашкевич понимает только безразмерные параметры. Если Вы просто хотите поиграть, то можно задавать любые параметры - Прашкевич поиграет с Вами. Но если Вам надо для дела, и у Вас параметры размерные, то придется их обезразмерить. Для этого Вы сначала выбираете на свой вкус какую-нибудь длину R* (например, это может быть толщина первой пластины из стопки, или особенная длина волны, которая Вас больше всего интересует) и переводите свои параметры в систему СГС, а уже из системы СГС переводите в безразмерные, пользуясь формулами, которые приведены в табличках ниже: звездочкой помечены размерные параметры, и при этом c* = 3⋅1010 см/с - скорость света в вакууме в системе СГС.

3.1 Параметры графика
Под графиком есть три окна и кнопка выбора - что следует отображать по оси абсцисс (по умолчанию выбрана частота ω, можно выбрать длину волны λ, которая λ = 2π/ω).
Не баг, но фича - эти три окна не понимают "десятичную запятую", они понимают только "десятичную точку": число "3,14" не считывается, число "3.14" считывается; отрицательные числа считываются.
символ значение по умолчанию ед. изм. ф-ла вычисления из размерных параметров описание
ω ω0 = 0.1
ω1 = 62.831853
(≈ 2π/λ0)		 --- = ω* ⋅ R* / c* круговая частота - количество колебаний за 2π секунд
λ λ0 = 0.1
λ1 = 62.831853
(≈ 2π/ω0)		 --- = λ* / R* длина волны в вакууме
N 50 шт. --- количество точек на оси абсцисс (чем их больше, тем дольше занят счетом Ваш компьютер)

3.2 Параметры сред
В верхнем окне "параметры начальной среды" а также и в нижнем окне "параметры конечной среды" задается одна строка с параметрами.
В среднем окне "параметры стопки пластин" можно задать много строк - каждая строка описывает одну пластину (чем больше строк, тем дольше занят счетом Ваш компьютер). Порядок строк важен: свет на стопку падает "сверху вниз".

В строке параметры пластины разделены точкой с запятой и расположены в следующем порядке (всего 11 параметров):
d ; ε ; σ ; μ ; ε⊥ ; σ⊥ ; μ⊥ ; φ0 ; q ; σm ; σ⊥m

символ значение по умолчанию ед. изм. ф-ла вычисления из размерных параметров описание
d 0 --- = d* / R* толщина пластины
ε 1 --- --- диэлектрическая проницаемость, ε = ε∥ для анизотропных сред
σ 0 --- = 4πσ* ⋅ R* / c* проводимость (отвечает за поглощение), σ = σ∥ для анизотропных сред
μ 1 --- --- магнитная проницаемость, μ = μ∥ для анизотропных сред
ε⊥ 1 --- --- диэлектрическая проницаемость поперек направления оптической оси
σ⊥ 0 --- = 4πσ⊥* ⋅ R* / c* проводимость поперек направления оптической оси (дихроизм)
μ⊥ 1 --- --- магнитная проницаемость поперек направления оптической оси
φ0 0 "пи-радиан" = φ0* / π угол между оптической осью и Оx (в начале пластины)
q 0 --- = q* ⋅ R* пространственная частота вращения оптической оси... сама же оптическая ось у Прашкевича - это вектор n единичной длины: nx(z) = cos(q⋅z+φ0), ny(z) = sin(q⋅z+φ0). В этом выражении у Прашкевича z - это локальная координата, Прашкевич отсчитывает ее от начала каждой пластины, а не от глобального начала координат (ему кажется, что Вам так будет удобнее задавать начальный угол φ0). Отрицательное значение q задает вращение по часовой стрелке
σm 0 --- = 4πσm* ⋅ R* / c* проводимость гипотетических магнитных зарядов (метаматериалы), σm = σ∥m для анизотропных сред
σ⊥m 0 --- = 4πσ⊥m* ⋅ R* / c* проводимость гипотетических магнитных зарядов поперек направления оптической оси (дихроизм метаматериалов)

Для анизотропных сред индекс "∥" - означает значение величины вдоль оптической оси, индекс "⊥" - значение величины поперек оси.
Для изотропных сред: ε = ε∥ = ε⊥, σ = σ∥ = σ⊥, μ = μ∥ = μ⊥, φ0 = любое, q = любое, σm = σ∥m = σ⊥m.

Прашкевич из каждой строки пытается получить 11 чисел по следующему алгоритму. Он перебирает все символы в строке слева направо. Дойдя до знака ";" или до конца строки он полагает, что здесь оканчивается число. Если он не может интерпретировать символы между разделителями ";" как число, то он оставляет параметр, заданный по умолчанию. Кроме того, чтобы Вам меньше писать, Прашкевич по умолчанию полагает, что пластина будет изотропной (так чаще всего и бывает), поэтому, считав ε, он приравнивает ее к ε⊥, а считав далее из строки Ваше значение ε⊥ (если Вы его задали), он честно его перезаписывает (это же касается и других анизотропных параметров: σ, μ, σm).
То есть, места между разделителями ";" Вы можете оставлять пустыми или заполнять произвольным набором символов, а также можно не писать ненужный "хвост строки" - тогда параметры останутся по умолчанию (изотропными).
Над кнопкой "начать расчет" есть галочка "показать параметры" - перед расчетом Прашкевич покажет на экране, как он считал строки - здесь он также указывает общее количество строк из всех трех окон (начальная среда, стопка пластин, конечная среда). Например, по умолчанию сверху и снизу от стопки находится вакуум, а стопка состоит из пластины вакуума нулевой толщины - по умолчанию всего три строки.

Еще нюанс. У параметров окружающих сред (окна "параметры начальной среды" и "параметры конечной среды") есть одно отличие от параметров пластин в стопке - Прашкевич полагает, что среды, которые находятся сверху и снизу от стопки, это такие "пластины", которые всегда изотропны и имеют бесконечную толщину, то есть он считывает всё, но использует в расчетах только ε, σ, μ. И в упомянутых окнах в самом начале строки, на месте первого параметра "толщина пластины d", можно поставить любое число, любое количество символов, или вообще ничего не писать, а оставить только точку с запятой (между параметрами вообще всегда надо ставить точки с запятой):
; ε; σ; μ
(можно скопировать эту строчку в окно и заменить любые символы числами).

4. Примеры задания параметров

4.1. "Граница раздела двух сред"
Описание задачи: сверху среда с диэлектрической проницаемостью ε = 2, снизу металл с проводимостью σ = 10, а стопки никакой нет (у стопки по умолчанию нулевая толщина).
Ставим задачу Прашкевичу
в окно "параметры начальной среды" копируем (ctrl+c, ctrl+v) прямо всю эту строку: [на месте первого параметра "толщина" у начальной и конечной среды могут быть любые символы или ни одного] ; 2; σ; μ
окно "параметры стопки пластин" оставляем пустым
в окно "параметры конечной среды" копируем строку: ; ε; 10; μ
нажимаем галку "показывать параметры"
нажимаем кнопку "начать расчет" наблюдаем в выпавшем окне три строки (верхняя среда, пластина с нулевой толщиной, нижняя среда)
смотрим как под кнопкой "начать расчет" появилось число - время, затраченное Вашим компьютером на расчет - это означает, что расчет закончен
Теперь смотрим, что насчитал Прашкевич: нажимаем на окошко "вывести график" и выбираем что-нибудь, а стрелками на клавиатуре можно переключать графики (поглощение равно нулю, потому что поглощение, вообще-то, вычисляется в пластине, а она у нас в этом примере имеет нулевую толщину).

4.2. Слой "метавакуума" (задание одиннадцатого параметра)
Описание задачи: допустим, что у нас есть материал толщиной d = 3, который очень похож на вакуум, но с гипотетическими магнитными зарядами, причем проводимость магнитных зарядов проявляет себя только поперек оптической оси (ось по умолчанию направлена вдоль Ox: φ0 = 0 ): σ⊥m = 5.
Ставим задачу Прашкевичу
окно "параметры начальной среды": оставляем пустым
в окно "параметры стопки пластин" копируем на выбор одну из двух строк (можно удалить ненужные символы, оставив только разделители ";" - Прашкевич поймет одинаково): 3 ; ε ; σ ; μ ; ε⊥ ; σ⊥ ; μ⊥ ; φ0 ; q ; σm ; 5
3 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 5
окно "параметры конечной среды": оставляем пустым
нажимаем кнопку "начать расчет"

4.3. "Диэлектрическое зеркало или фотонный кристалл" (100 слоев)
Описание задачи: задать стопку из ста диэлектрических пластин.
Толщина у всех пластин будет одинакова, d = 1, а диэлектрических проницаемостей будет две: у первой пластинки ε1 = 2, а у второй пластинки ε2 = 3. И таких парочек мы сделаем пятьдесят штук (будет стопка из ста пластин).
Ставим задачу Прашкевичу
окно "параметры начальной среды": оставляем пустым
в окно "параметры стопки пластин" копируем пятьдесят раз эти две строки - сразу обе (чтобы получилось сто строк + сами появятся еще две строки: начальная и конечная среды, которые "вакуум по умолчанию"): 1;2; [если Прашкевич не считывает числа, он оставляет параметры по умолчанию, т.е. можно копировать прямо с этим текстом - он же не число]
1;3
окно "параметры конечной среды": оставляем пустым
в окно "начальная частота, ω0" вставляем значение: 2
в окно "конечная частота, ω1" вставляем значение: 4
в окно "Количество точек на Ox, шт" вставляем значение: 500
нажимаем кнопку "начать расчет"
Расчет продлится несколько секунд. График отражения покажет, что в районе значения ω = 3 имеется интервал частот, которые полностью отражаются - это полное отражение непрерывного интервала частот называется "одномерный фотонный кристалл" (стопка, конечно, так называется, а не отражение). Если попросить Прашкевича посчитать поподробнее в маленькой Δ-окрестности точки ω = 3, то можно увидеть подробности: кое-что всё таки пропускается.

4.4. Один поляризатор, два скрещенных поляризатора
Описание задачи "один поляризатор": задать одну пластину-поляризатор (пластина должна поглощать одну из двух линейных поляризаций, а другую - не поглощать). То есть надо задать ненулевую проводимость поперек оптической оси: σ⊥ (у нас она будет равна 10, и не забываем про толщину пластины - у нас d = 2).
Ставим задачу Прашкевичу
в окно "параметры стопки пластин" копируем: 2 ; ε ; σ ; μ ; ε⊥ ; 10 ; (μ⊥ ; φ0 ; q ; σm ; σ⊥m - этот хвост с незаданными параметрами можно не писать, а можно копировать строку вместе с этим текстом)
В расчете можно видеть, что Tx (пропускание света стопкой) - для всех частот равен единице (есть некоторая численная погрешность), а Ty - падает до нуля с увеличением частоты. То есть, такая пластина одну поляризацию пропускает свободно, а другую "притормаживает".

Описание задачи "два скрещенных поляризатора": задать два поляризатора крест-накрест. То есть, мы добавим к первой пластине точно такую же, но повернем ей оптическую ось φ0 на π/2 (φ0 = 0.5 "пи-радиан" ).
Ставим задачу Прашкевичу
в окно "параметры стопки пластин" копируем: 2 ; ε ; σ ; μ ; ε⊥ ; 10 ; μ⊥ ; φ0 ; q ; σm ; σ⊥m
2 ; ε ; σ ; μ ; ε⊥ ; 10 ; μ⊥ ; 0.5 ; q ; σm ; σ⊥m
Расчет показывает, что в стопке, которую мы назвали "два скрещенных поляризатора", обе поляризации затухают с ростом частоты.

4.5. Слой холестерика (сравниваем Прашкевича с другими, на примере расчета слоя холестерического жидкого кристалла)

- Задача Вохлер (1988). В статье у Вохлера есть рисунок "Fig.1" (с графиками отражения R) и текст, из которого можно понять, что Вохлер задавал своей пластине такие параметры:
d = 10, ε = 2, ε⊥ = 3, q = 2π.
Ставим задачу Прашкевичу
в окно "параметры стопки пластин" копируем: 10 ; 2 ; σ ; μ ; 3 ; σ⊥ ; μ⊥ ; φ0 ; 6.283 ; σm ; σ⊥m
под графиком справа в окошке выбора λ / ω выбираем как у Вохлера: λ
в окно λ 0 вставляем как у Вохлера: 1
в окно λ 1 вставляем как у Вохлера: 2
в окно "Количество точек на Ox, шт" вставляем значение: 500
Из расчета видно, что Прашкевич лучше Вохлера - абсциссы экстремумов качественно совпадают, однако абсолютные значения ординат различаются. Наверное, у Вохлера в 1988 году не было компьютера.

- Задача Минько (2012). В статье у Минько есть рисунок "Рис.3" (с графиком коэффициента пропускания) и текст, из которого можно понять, что Минько решал следующую задачу.
Слой холестерика с коэффициентами преломления: n∥ = 1.46, n⊥ = 1.53, шагом спирали 0.33 мкм и толщиной 6 мкм обложен сверху и снизу стеклянной средой с n = 1.5. График построен для длин волн от 440 нм до 560 нм.
Ставим задачу Прашкевичу
переводим параметры Минько в безразмерные: выбираем длину обезразмеривания R* = 1 мкм.

ε = n2
для окружающих сред (стекла): ε = 1.52 = 2.25

для холестерика:
ε = ε∥ = 1.462 = 2.1316
ε⊥ = 1.532 = 2.3409
d = 6
q = 2π/(шаг спирали) = 2π/0.33 = 19.04

для интервала оси абсцисс графика:
λ0 = 0.44
λ1 = 0.56
в окна "параметры начальной среды" и "параметры конечной среды" копируем строку: ; 2.25; σ; μ
в окно "параметры стопки пластин" копируем: 6 ; 2.1316 ; σ ; μ ; 2.3409 ; σ⊥ ; μ⊥ ; φ0 ; 19.04 ; σm ; σ⊥m
под графиком справа в окошке выбора λ / ω выбираем как у Минько: λ
в окно λ 0 вставляем как у Минько: 0.44
в окно λ 1 вставляем как у Минько: 0.56
в окно "Количество точек на Ox, шт" вставляем значение: 500
После расчета выводим график отражения правой круговой волны Rr - и наблюдаем схожесть с графиком Минько (немного не совпадают экстремумы в районе значения 480 на оси абсцисс). НО! у Минько на оси ординат заявлено пропускание, а не отражение. Размышляем над этим - может быть Прашкевич перепутал отражение с пропусканием?! Вспоминаем задачу 4.3. - там Прашкевич ничего не путал (зеркало всё отражало, как положено). Вспоминаем задачу 4.5. "Вохлер" - там Прашкевич тоже не путал отпражение с пропусканием. Значит, перепутал Минько (если внимательно приглядеться к "Рис.3", то можно заметить, что на рисунке ось ординат подписана, как "коэффициент пропускания", а в подписи к самому рисунку написано "спектр отражения"). Что касается несовпадения экстремумов у Минько и Прашкевича, то это скорее всего связано с тем, что в статье шаг спирали (0,33) указан грубее, чем тот, который на самом деле использовался для получения графика на "Рис.3" - если предположить, что Минько в расчете задал шагу спирали значение 1/3, а не заявленное в статье 0,33, то пространственная частота у нас будет: q = (2π / [шаг спирали]) = 6π ≈ 18.8495559. Короче говоря, если задать Прашкевичу q = 18.8495559 (вместо 19.04), то график Прашкевича идеально совпадет с графиком Минько на "Рис.3".

- Задача Геворгян (2000). В статье у Геворгяна есть рисунок "Рис.1,a" (с графиками коэффициента отражения) и текст к рисунку, из которого можно понять, что Геворгян решал следующую задачу.
* Верхняя среда: вакуум (n0 = 1)
* Стеклянная пластина: d = 1000 μm (в статье в подписи под графиком описка: "mμ"), n1 = 2.5
* ХЖК-пластина: d = 20 шагов холестерической спирали, шаг холестерической спирали равен 0.42 μm, ε∥ = 2.29, ε⊥ = 2.143
* Стеклянная пластина: d = 1000 μm, n2 = 1.5
* Нижняя среда: вакуум.
График построен на интервале длин волн: 0.6 μm - 0.65 μm.
Ставим задачу Прашкевичу
переводим параметры Геворгяна в безразмерные: выбираем длину обезразмеривания R* = 1 μm.

для верхней стеклянной пластины:
d = 1000
ε = n2 = 2.52 = 6.25

для холестерика:
ε = ε∥ = 2.29
ε⊥ = 2.143
d = 20 ⋅ 0.42 = 8.4
q = 2π/(шаг спирали) = 2π/0.42 = 14.96

для нижней стеклянной пластины:
d = 1000
ε = n2 = 1.52 = 2.25

для интервала оси абсцисс графика:
λ0 = 0.6
λ1 = 0.65
окна "параметры начальной среды" и "параметры конечной среды" оставляем пустыми
в окно "параметры стопки пластин" копируем: 1000 ; 6.25
8.4 ; 2.29 ; σ ; μ ; 2.143 ; σ⊥ ; μ⊥ ; φ0 ; 14.96 ; σm ; σ⊥m
1000 ; 2.25
под графиком справа в окошке выбора λ / ω выбираем как у Геворгяна: λ
в окно λ 0 вставляем как у Геворгяна: 0.6
в окно λ 1 вставляем как у Геворгяна: 0.65
в окно "Количество точек на Ox, шт" вставляем значение: 10000 (да, десять тысяч)
В тех желтых коридорах, что рисует Прашкевич, наверняка можно найти место для кривых Геворгяна. А может, Вы задали неправильные параметры...

- Задача Геворгян (1984) - самостоятельно, пожалуйста.

- Задача Перковский (1983), стр 21. (график на стр.23)
В статье у Перковского есть рисунок "Рис.1" (с графиками коэффициента отражения) и текст к рисунку, из которого можно понять, что Перковский решал следующую задачу.
* Верхняя среда: вакуум (n0 = 1)
* ХЖК-пластина:
... шаг холестерической спирали равен 0.4 мкм,
... толщина пластины d равна 20 шагов спирали,
... ετ = (ε⊥ + ε∥) / 2 = 2.7225,
... δ = (ε⊥ - ε∥) / (ε⊥ + ε∥) = 0.05 (в статье в пояснении к формуле (4) в знаменателе описка "-").
* Нижняя среда: вакуум.
График построен на интервале длин волн: 0.63 мкм - 0.72 мкм.
Ставим задачу Прашкевичу
переводим параметры Перковского в безразмерные: выбираем длину обезразмеривания R* = 1 мкм.

для холестерика:
ε = ε∥ = ετ⋅(1 - δ) = 2.586375
ε⊥ = ετ⋅(1 + δ) = 2.858625
d = 20 ⋅ 0.4 = 8
q = 2π/(шаг спирали) = 15.707963268

для интервала оси абсцисс графика:
λ0 = 0.63
λ1 = 0.72
окна "параметры начальной среды" и "параметры конечной среды" оставляем пустыми
в окно "параметры стопки пластин" копируем: 8 ; 2.586375 ; ; ; 2.858625 ; ; ; ; 15.707963268
под графиком справа в окошке выбора λ / ω выбираем как у Перковского: λ
в окно λ 0 вставляем как у Перковского: 0.63
в окно λ 1 вставляем как у Перковского: 0.72
в окно "Количество точек на Ox, шт" вставляем значение: 500
Графики Прашкевича Tr и Tl идеально совпадают с графиками "1" и "2" на рис.1 статьи Перковского.

4.6. Слой Вохлера в скрещенных поляризаторах
Описание задачи: просто поместим холестерик между поляризаторами и посмотрим, пройдет ли теперь через такую стопку свет (скопируем параметры из предыдущих задач, а под графиком оставим ω - она лучше чем λ, она показывает периодичность зависимостей).
Ставим задачу Прашкевичу
в окно "параметры стопки пластин" копируем: 2 ; ε ; σ ; μ ; ε⊥ ; 10 ; μ⊥ ; φ0 ; q ; σm ; σ⊥m
10 ; 2 ; σ ; μ ; 3 ; σ⊥ ; μ⊥ ; φ0 ; 6.283 ; σm ; σ⊥m
2 ; ε ; σ ; μ ; ε⊥ ; 10 ; μ⊥ ; 0.5 ; q ; σm ; σ⊥m
Посмотрите, что получится. Можно увеличить количество точек по абсциссе (N = 1000) и нажать на кнопку "начать расчет".

4.7. "Из таблицы Эксель (Exel)"
Попробуйте самостоятельно создать в Экселе (или в любом текстовом редакторе) табличку с параметрами стопки, скопировать и вставить сюда в окно "параметры стопки пластин", но не забывайте про разделитель ";" между параметрами.

================( Прашкевич имеет право на ошибку )============================